Ineqkhoinguyen’s Weblog

Ứng dụng…

Và đây là 2 ứng dụng khá đẹp

1)(Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên).Cho a,b,c>0 thỏa ab+bc+ca+abc=4.Chứng minh bdt

$\sqrt[4]{a^2+15}+\sqrt[4]{b^2+15} +\sqrt[4]{c^2+15} \geq \sqrt[4]{1242+54\sqrt[3]{(abc)^2}}$

2)(Nguyễn Huỳnh Khôi Nguyên&Đào Duy Hoàng)

Cho a,b,c>0 thỏa $a^2+b^2+c^2=3$ .Chứng minh bdt

$\sqrt[4]{a^3+\frac{4}{3}} +\sqrt[4]{b^3+\frac{4}{3}}+ \sqrt[4]{c^3+\frac{4}{3}} \geq \sqrt[4]{(a+b+c)^3+27(\sum{a^2b}+\sum{ab^2})}$

March 2, 2008 Posted by ineqkhoinguyen | Uncategorized | 3 Comments

Bài toán tổng quát 3

Với $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n,c_1,c_2,..,c_n$ là các số dương. k là số tự nhiên, $k \geq t$ và $k \geq 3$ .Ta có

$\sqrt[k]{a_1^t + a_2^t +...+ a_n^t}+\sqrt[k]{b_1^t+ b_2^t +...+b_n^t}+\sqrt[k]{c_1^t + c_2^t +...+ c_n^t}$

$\geq \sqrt[k]{ (a_1+ b_1 +c_1)^t +(a_2 +b_2 +c_2)^t +...+ (a_n+b_n+c_n)^t + (3^k-3^t)(\sqrt[3]{(a_1 b_1 c_1)^t}+\sqrt[3]{(a_2 b_2 c_2)^t} +...+ \sqrt[3]{(a_n b_n c_n)^t})}$

(Tư tưởng chứng minh không khác gì ở bài đầu tiên)

(Hè..theo tui…ở đây… cho k càng lớn thì thời gian chứng minh càng nhiều)

March 2, 2008 Posted by ineqkhoinguyen | Uncategorized | Leave a comment

Bài toán tổng quát 2

Với $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n,c_1,c_2,..,c_n$ là các số dương. t là số tự nhiên nhỏ hơn 5.Ta có bdt

$\sqrt[4]{a_1^t + a_2^t +...+ a_n^t}+\sqrt[4]{b_1^t+ b_2^t +...+b_n^t}+\sqrt[4]{c_1^t + c_2^t +...+ c_n^t}$

$\geq \sqrt[4]{ (a_1+ b_1 +c_1)^t +(a_2 +b_2 +c_2)^t +...+ (a_n+b_n+c_n)^t + (81-3^t)(\sqrt[3]{(a_1 b_1c_1)^t}+\sqrt[3]{(a_2 b_2 c_2)^t} +...+ \sqrt[3]{(a_n b_n c_n)^t})}$

March 2, 2008 Posted by ineqkhoinguyen | Uncategorized | Leave a comment

Và đi đến bài tổng quát 1

Với $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n,c_1,c_2,..,c_n$ là các số dương.Ta có bdt

$\sqrt[4]{a_1^3 + a_2^3 +...+ a_n^3}+\sqrt[4]{b_1^3+ b_2^3 +...+b_n^3}+\sqrt[4]{c_1^3 + c_2^3 +...+ c_n^3}$

$\geq \sqrt[4]{ (a_1+ b_1 +c_1)^3 +(a_2 +b_2 +c_2)^3 +...+ (a_n+b_n+c_n)^3 +54(a_1 b_1 c_1 +a_2 b_2 c_2 +...+ a_n b_n c_n) }$

Việc chứng minh bài này tương tự như bài trước

March 2, 2008 Posted by ineqkhoinguyen | Uncategorized | Leave a comment

Một dạng bất đẳng thức chứa căn

1.Với a,b,c,x,y,z>0.Ta có bất đẳng thức

$\sqrt[4]{a^3+x^3}+\sqrt[4]{b^3+y^3}+\sqrt[4]{c^3+z^3} \geq \sqrt[4]{(a+b+c)^3+(x+y+z)^3+54(abc+xyz)}$

Chứng minh: sau khi mũ 4 hay vế,khai triển và rút gọn ta được bdt tương đương

$6(\sqrt{(a^3+x^3)(b^3+y^3)}+\sqrt{(b^3+y^3)(c^3+z^3)}+\sqrt{(c^3+z^3)(a^3+x^3)}+ 4(\sqrt[4]{(a^3+x^3)^3(b^3+y^3)}+\sqrt[4]{(b^3+y^3)^3(c^3+z^3)}+\sqrt[4]{(c^3+z^3)^3(a^3+x^3)} +12(\sqrt[4]{(a^3+b^3)^2(b^3+y^3)(c^3+z^3)}+\sqrt[4]{(b^3+y^3)^2(c^3+z^3)(a^3+x^3)}+\sqrt[4]{(c^3+z^3)^2(a^3+x^3)(b^3+y^3)} \geq 3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+3(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+xz^2)+60(abc+xyz) (*)$

Dùng dt CBS suy rộng cho 4 dãy ta được

VT(*)

$\geq 6(\sqrt{a^3b^3}+\sqrt{x^3y^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{y^3z^3}+\sqrt{c^3a^3}+\sqrt{z^3x^3})+4(\sqrt[4]{a^9b^3}+\sqrt[4]{x^9y^3}+\sqrt[4]{a^9c^3}+\sqrt[4]{x^9z^3}+\sqrt[4]{b^9c^3}+\sqrt[4]{y^9z^3}+\sqrt[4]{b^9a^3}+\sqrt[4]{y^9x^3}+\sqrt[4]{c^9a^3}+\sqrt[4]{z^9x^3}+\sqrt[4]{c^9b^3}+\sqrt[4]{z^9y^3})+12(\sqrt[4]{a^6b^3c^3}+\sqrt[4]{x^6y^3z^3}+\sqrt[4]{b^6c^3a^3}+\sqrt[4]{y^6z^3x^3}+\sqrt[4]{c^6a^3b^3}+\sqrt[4]{z^6x^3y^3}$

$= 6\sum{\sqrt{a^3b^3}}+4\sum{\sqrt[4]{a^9b^3}}+4\sum{\sqrt[4]{a^3b^9}}+12\sum{\sqrt[4]{a^6b^3c^3}}+6\sum{\sqrt{x^3y^3}}+4\sum{\sqrt[4]{x^9y^3}}+4\sum{\sqrt[4]{x^3y^9}}+12\sum{\sqrt[4]{x^6y^3z^3}}$

Giờ ta chứng minh bdt sau

$6\sum{\sqrt{a^3b^3}}+4\sum{\sqrt[4]{a^9b^3}}+4\sum{\sqrt[4]{a^3b^9}}+12\sum{\sqrt[4]{a^6b^3c^3}} \geq 3\sum{a^2b}+3\sum{ab^2}+60abc(**)$

bdt(**) được chứng minh từ các bdt sau

a) $\frac{5}{2}.(\sum{\sqrt[4]{a^9b^3}}+\sum{\sqrt[4]{a^9c^3}} \geq \frac{5}{2}.(\sum{\sqrt[4]{a^7b^5}}+\sum{\sqrt[4]{a^7c^5}})$

b) $\frac{3}{2}.(\sum{\sqrt[4]{a^9b^3}}+\sum{\sqrt[4]{b^9a^3}} + \sum{\sqrt[4]{a^7b^5}} + \sum{\sqrt[4]{a^5b^7}}) \geq 3(\sum{a^2b}+\sum{ab^2})$

c) $\sum{\sqrt[4]{a^7b^5}} + \sum{\sqrt[4]{a^5b^7}} \geq 6abc$

d) $6\sum{\sqrt{a^3b^3}} \geq 18abc$

e) $12\sum{\sqrt[4]{a^6b^3c^3}} \geq 36abc$

C/m bdt a)

Áp dụng bdt AM-GM ta có

$2\sqrt[4]{a^9b^3}+\sqrt[4]{a^3b^9} \geq 3\sqrt[4]{a^7b^5}$

$2\sqrt[4]{a^3b^9}+\sqrt[4]{a^9b^3} \geq 3\sqrt[4]{a^5b^7}$

Thiết lập các bdt tương tự và cộng vế theo vế thì chứng minh được a)

Chứng minh bdt b)

Ta có

$\sqrt[4]{a^9b^3}+\sqrt[4]{a^7b^5} \geq 2a^2b$

$\sqrt[4]{a^3b^9}+\sqrt[4]{a^5b^7} \geq 2ab^2$

Thiết lập các bdt tương tự và cộng vế theo vế ta chứng minh được b)

Bdt c,d,e chứng minh không khó

Cộng các bdt a,b,c,d,e vế theo vế ta được

$6\sum{\sqrt{a^3b^3}}+4\sum{\sqrt[4]{a^9b^3}}+4\sum{\sqrt[4]{a^3b^9}}+12\sum{\sqrt[4]{a^6b^3c^3}} \geq 3\sum{a^2b}+3\sum{ab^2}+60abc(**)$

Chứng minh tương tự cho các biến x,y,z ta cũng có

$6\sum{\sqrt{x^3y^3}}+4\sum{\sqrt[4]{x^9y^3}}+4\sum{\sqrt[4]{x^3y^9}}+12\sum{\sqrt[4]{x^6y^3z^3}} \geq 3\sum{x^2y}+3\sum{xy^2}+60xyz(***)$

cộng 2bdt (**) và (***) ta được dpcm

vậy bài toán được chứng minh xong

March 2, 2008 Posted by ineqkhoinguyen | Uncategorized | Leave a comment

Sách cũ mà mới…

Vậy là…tui chuẩn bị có thêm được 1 quyển sách bất đẳng thức hay nữa…mấy bạn toán 1 nào có nhu cầu học thì cứ nói tui 1 câu…ok men

Bìa sách………………………..

vasc.jpg picture by lian109

February 20, 2008 Posted by ineqkhoinguyen | Uncategorized | 1 Comment

Chia sẻ là hạnh phúc….

Tui không theo chủ nghĩa : Có sách hay mà cho mượn là dại, mượn sách hay mà trả lại thì càng dại hơn … vì thế.. tui posst lên đây 1 đống tài liệu của mình tìm được.. mọi người tham khảo

khai-thac-bdt.pdf

de-thi-bdt-nam-2007.pdf

titu-and-harazi-bo-ich.pdf

vietnam_tst-1990-2004.pdf

vo-quoc-ba-can-bai-tap.pdf

luong-giac-vao-tam-giac.doc

500-bai-bdt-chon-loc.pdf